대칭좌표법 일반사항

대칭좌표법 일반사항

가. 개요

3t상 단락고장처럼 각 상이 평형된 고장에서는 고장점을 중심으로 여기에 인가된 전압과 임피던스를 구해서 쉽게 해석할 수 있다. 그러나 각 상이 불평형이 되는 1선지락과 탕은 불평형 고장에서는 각 상에 걸리는 전압을 따로따로 구해야 하는데 실제적으로는 이것이 그 해를 구하기가 어렵워진다. 따라서 대칭좌표법(불평형 3상전류의 각 상을 영상전류, 정상전류, 역상전류 등 새로운  Vactor로 치환, 이를 이용하여 고장전류를 구하는 방법)을 이용하지 않고서는 불평형문제를 다룰 수 없다.
대칭좌표법은 불평형의 전류나 전압을 그대로 취급하지 않고 일단 그것을 대칭적인 3개의 성분으로 나누어서 각각의 대칭분이 단독으로 존재하는 경우의 계산을 실시한 다음 마지막으로 그들 각 성분의 계산결과를 중첩시켜서 실제의 불평형인 값을 알고자 하는 방법이다.
그러므로 계산도중에는 언제나 평형회로의 계산만 하게 되고 각 성분의 계산이 끝난 다음 이들을 중첩함으로써 불평형 문제의 해가 얻어지는 것이다.

나. 본론

1. 정의

아래의 식에서(각 전압과 전류의 성분은 벡터임)

영상전압, 영상전류		동일한 크기와 위상각을 가진 평형단상전류로서 영상전류(전압)라고 부른다. 이 영상전류는 지락고장시 접지계전기를 동작시키는 전류이지만, 통신선에 유도장해를 일으키는 전류이기도 하다.
정상전압, 정상전류		평형 3상 교류로서 전원과 동일한 상회전 방향으로 포함되어 있는 전류로 이 전류가 전동기에 흐르면 전동기에 회전토크를 발생시킨다.
역상전압, 역상전류		상회전이 반대인 3상 평형전류로서 이 전류가 전동기에 흐르면 제동작용을 해서 그 만큼 전동기의 출력을 감소시키게 된다.

 

2. 대칭분전압

2-1. 각상전압

행렬식으로 표현하면

 

2-2. 대칭분 전압(Va 기준)

• a 상을 기준으로 전압 Va, Vb, Vc라고 하면, a 상을 기준으로 한 대칭분







• 행렬표현



3. 대칭분전류



3-1. 각 상전류







3-2. 대칭분 전류(Ia 기준)

행렬식으로 표현하면

4. 위상차

여기서 a, a²은 각각 벡터이기 때문에 가령 Ib에 a를 곱한다는 것은 Ib라는 전류의 위상을 120도 만큼 앞서게 한다는 것이고 a²을 곱하면 그 전류를 240도 만큼 앞서게 한다는 것이다. 그러므로 Ia, Ib, Ic가  불평형전류라 하여도 이것이 주어지면 여기에 a, a² 등을 곱해서 쉽게 구할 수 있다.

4. 발전기의 기본식

그림과 같은 3상 발전기에서 발전기가 임의의 불평형 전류를 흘리고 있을 경우 그 단자전압과 전류와의 관계를 구해 본다. 단, 발전기는 대칭이고 무부하 유도전압은 3상이 평형되고 있다. 지금 Ea, Eb, Ec를 각 강의 무부하 유도전압 va, vb, vc를 각 상의 전압강하라고 하면, a,b,c  각 상의 단자전압 Va, Vb, Vc는





  로 표현된다.

따라서 이들 대칭분은 상기의 식 및      이라는 관계를 이용하면





   로 된다.

여기서 전기자 전압강하를 계산하기 위하여 먼전 영상전류만을 흘렸을 경우를 생각하면 각 상의 전압강하는 동일해서 Z₀와 I₀의 곱으로 된다. 이처럼 Z₀는 발전기에 영상전류인 동상의 전류가 각 상에 흘렀을 때의 임피던스로서 이것을 발전기의 영상임피던스라고 한다. 단, 여기서 Z₀ 이외의 임피던스는 I₀에 의해서 전압강하를 발생하지 않는 것으로 하고 있다.

다음에 각 상에 I₁, a²I₁, aI₁인 정상의 3상 평형전류를 흘렸을 경우 전압강하는 Z₁I₁, a²Z₁I₁, aZ₁I₁으로 된다. 여기서 Z₁은 정상의 3상 평형전류를 흘렸을 경우의 임피던스로서 이것을 발전기의 정상임피던스라고 한다. 또한, 이것은 발전기의 명판에 적혀있는 동기임피던스이다.

마지막으로 각 상에 I₂, aI₂, a²I₂  인 역상의 3상 평형전류를 흘렸을 경우 임피던스강하는 각각 Z₂I₂, aZ₂I₂,  aZ₂I₂ , a²Z₂I₂로 된다. 여기서 Z₂는 역상의 3상 평형전류가 흘렀을 경우의 임피던스로서 이것을 발전기의 역상임피던스라고 한다.

실제로 전기자 전압강하는 이들의 대칭분 전류가 흘렀을 경우 각 상분의 전압강하를 중첩시켜서 구할 수 있다. 즉,

 



  

로 되고, 이것으로부터 다음의 식을 얻는다.







따라서 위의 두식을 대입하면







로 정리되는데 이것을 발전기의 기본식이라고 한다.

이 빌전기의 기본식을 이용함으로써 어떠한 불평형전류가 주어지더라도 쉽게 이때의 회로 계산이 가능하다. 가령 어떤 불평형전류가 주어지면 그것으로부터 I0, I1, I2의 각 대칭분을 만들 수 있으며, 이것을 발전기의 기본식에 대입함으로써 이때 발전기의 단자전압에 나타나는 전압의 대칭분 V0, V1, V2를 구할 수 있다. 이렇게 해서 대칭분 전압이 구해지면 그 뒤에는            의 식을 이용해서 실제로 알고자 하는 각 단자에서의 전압 Va, Vb, Vc의 값을 알 수 있게 되는 것이다.

반대로 발전기의 단자에 불평형 전압이 주어진 경우 발전기에 어떠한 불평형전류가 흐르게 되는가 하는 것도 발전기 기본식을 이용하여 쉽게 구할 수 있다. 이처럼 대칭좌표법을 이용하면 불평형고장시의 단자전압 계산이 가능하다.

[참고] 영상, 정상 및 역상 임피던스계산 "예"

 

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고장계산 "예"

[문제]  3상회로에서 선간전압이 각각 80V, 50V, 50V 이다. 이 경우의 전압의 대칭분 및 불평형률을 산정하시오.
	[해설] Va+Vb+Vc=0  이므로 Va를 기준벡터로 취하면 그림 a 및 b의 전압벡터를 그릴 수 있다. 그림 b에서 Va = 80[V], Vb = - 40 - j30[V], Vc = 40 + j30[V] 이므로 정상전압                     역상전압                     불평형율

 

문제. ,  ,   일 때  불평형 전류 Ia, Ib, Ic의 값?

[풀이]

 

문제 각 상전압이       이라 하면 영상대칭분의 전압 ?

[풀이 1]                            [풀이 2]

 

문제. 그림과 같이 3상 4선식 배전선로에서 무유도부하 2[Ω], 4[Ω], 5[Ω]을 각 상과 중성선 사이에 접속한다. 지금 변압기 2차 단자에서의 선간전압을 173[V]로 하면 중성선에 흐르는 전류는? 단, 변압기 및 전선의 임피던스는 무시한다.
1. 각 상에 흐르는 전류	[해설] 2. 3상 전류는 각각 120°의 위상이 있으므로 중성선 전류는