이산푸리에변환(DFT)의 성질

제1절 이산푸리에변환(DFT)의 성질

이산푸리에변환에 대해서는 이미 “이산푸리에 변환과 고조파 분해”라는 게시물에서 그 이론적 배경을 설명하였다.

따라서, 이 강좌에서는 모의한 신호에 대하여 이산푸리에변환을 다양하게 실험하면서, 샘플링 정밀도가 연산 결과에 즉, 분해한 고조파의 정확도에 어떤 영향을 미칠 수 있는지를 살펴본다.

 

1. Sampling Rate와 고조파 분해력

크기가 15인 기본파 신호로부터 10차 고조파까지 크기가 15와 10을 교번하는 임의의 고조파 파형을 만들고, 이 신호를 20 Sample/Cycle 의 정밀도로 샘플링하여 이산푸리에 변환을 실시하였다.

결과는 위의 표에서 바와 같이 기본파의 9차 고조파까지의 크기는 정확하게 분해하고 있지만, 10차 고조파는 분석하지 못하고 있다.

이와 같은 현상을 더 정확히 확인해 보기 위해 이번에는 크기가 100인 기본파에 실제 상황과 유사한 크기의 고조파를 32차까지 임의로 포함시키고 이산푸리에변환을 실시하였다.

 

표에서 볼 수 있는 것과 같이 이번에도 역시 32차 고조파는 그 크기를 찾지 못하고 있다.

이상의 결과에서 이산푸리에변환으로 분해할 수 있는 고조파 신호의 최고 차수는 신호를 샘플링한 정밀도에 영향을 받으며, 그 최고 차수는 Sampling Rate / 2 – 1 까지임을 알 수 있다.

예를 들어 입력신호를 샘플링한 정밀도가 128samples/cycle이라면 분해 가능한 고조파는 63차가 최대이며, 256samples/cycle이라면 127차가 최고차수가 된다.

 

2. 이산푸리에변환의 분해력을 벗어나는 고조파

이번에는 앞장에서 살펴본 입력신호의 샘플링 주기와 분해 가능한 최고차수 고조파의 관계에 있어서, 만약 입력신호에 최고차수 범위 밖의 고조파가 포함된 경우의 결과는 어떻게 되는지 살펴본다.

먼저, 앞 장에서 20개의 샘플로 실험한 입력 신호에 분해 능력을 벗어나는 11차 고조파를 포함시켜 이산푸리에변환을 실시하고 그 결과가 어떻게 변하는지 살펴본다.

위의 표에서 보는 것과 같이, 처음에 정확하게 분해가 되었던 9차 고조파까지도 이번에는 분해가 되지 않고 있음을 알 수 있다.

이산푸리에 변환의 분해력을 벗어나는 11차 고조파가 연산의 결과에 영향을 끼친 것으로 판단할 수 있다.

이와 같은 상관관계를 좀 더 정확하게 규명하기 위해 이번에는 입력신호에 12차 고조파까지 포함시킨 후 같은 과정을 되풀이해 보았다.

위의 결과와 같이 12차까지 포함된 신호에서는 8차 고조파도 그 값이 소실되고 있다.

이번에는, 앞에서 추가 시켰던 11차와 12차의 고조파를 제거하고 대신 13차 고조파를 포함시킨 후 같은 과정을 반복하였다.

위의 결과에서 우리는 11차 고조파가 9차 고조파에, 12차는 8차, 13차는 7차 고조파에 영향을 끼치게 됨을 예상 할 수 있고, 같은 상관관계로 14차는 6차에 15차는 5차에 그리고 기본파는 19차에 의해 영향을 받게 될 것이다.

앞의 신호에 실제로 19차를 포함시켜 위의 사실을 확인해 볼 수 있다.

20차 고조파는 그럼 어떤 영향을 끼치게 될까?

이 궁금증을 위해 이번에는 10차까지의 고조파 신호에 지금까지 추가했던 모든 고차고조파는 제거하고 20차 고조파만 추가하여 실험을 해 보았다.

결과는 위의 표와 같이 20차 고조파가 없는 경우와 완전히 같은 결과를 나타내고, 20차 고조파는 연산 결과에 어떤 영향도 미치지 않는 것으로 보인다.

계속해서 이번에는 21차 고조파를 추가하여 그 결과를 살펴보았다.

결과는 위와 같이 다시 기본파의 분해 결과가 영향을 받고 있다.

실험을 계속 해 보면, 22차는 다시 2차에, 23차는 3차에 여향을 끼치고, 30차에서 다시 이미 분해를 할 수 없었던 10차와 상관한 후, 31차는 9차에, 32차는 8차에 영향을 끼치게 된다.

신호의 샘플링 주기로 정해지는 이산푸리에변환의 분해력을 벗어나는 고차 고조파는 연산의 결과를 지금까지 살펴본 규칙으로 훼손하게 된다는 것이다.

 

3. 분해력을 벗어나는 고차고조파가 연산 결과에 미치는 영향

이번에는 이산푸리에변환의 분해력을 벗어나는 고차고조파가 연산의 결과에 미치는 영향의 실제를 좀 더 정확하게 확인해 본다.

실험을 위해 크기가 각각 15인 기본파와 9차고조파를 포함하는 신호를 만들고 앞장에서와 같이 한 주기를 20개의 샘플로 샘플링하였다.

이후에 이어서 위의 신호에 크기가 9차 고조파와 같은 15인 11차 고조파를 포함시켜 이산푸리에변환을 실시하고, 다시 11차 고조파의 크기를 1로 줄여서 같은 과정을 반복해 보았다.

 

이미 확인한 바와 같이 11차 고조파가 포함되지 않았을 때, 정확하게 분해되던 9차 고조파는 11차 고조파가 포함되면서 그 값이 영향을 받고, 11차 고조파의 크기를 1로 줄인 경우를 보면 그 영향의 정도가 포함되는 고차고조파 크기의 차감으로 나타나고 있음을 알 수 있다.

이와 같은 상관관계는 고차 고조파의 크기를 다양하게 조정하여 쉽게 확인이 가능하다.

이상의 과정으로 확인할 수 있는 이산푸리에변환의 성질을 정리하면,

• 입력신호에 (N/2)차 보다 큰 고조파가 존재하는 경우 구해지는 고조파는 고차고조파의 크기에 따라 오차가 발생한다.
• N차 이내에서 (N/2)+M차 고조파는 (N/2)-M차 고조파의 분해에 영향을 끼치고, N차 이상에서 N+M차 고조파는 M차 고조파의 분해에 영향을 끼친다.
• 따라서, 분해하는 고조파차수가 낮아도 신호는 높은 정밀도로 샘플링해야 한다.

  [출처] 고조파강좌 3 - 이산푸리에변환(DFT)의 성질|작성자 두꺼비